4.4 Lathund till Logaritmlagarna & Logaritmer med olika baser

<<   Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Lathund

Nästa avsnitt  >>

Logaritmlagarna

Första logaritmlagen:

\( \quad\;\, \lg\,(A \cdot B) \; = \; \lg\,A \; + \; \lg\,B \qquad \)

---

Andra logaritmlagen:

\( \quad\;\; \displaystyle \lg\,\left({A \over B}\right) \; = \; \lg\,A \; - \; \lg\,B \qquad \)

---

Tredje logaritmlagen:

\( \qquad \displaystyle {\lg\,\left(A\,^y\right)} \; = \; y \cdot \lg A \qquad \)

---

\( A \), \( \, B \, > \, 0 \, \) och \( \, y \, \) godtyckligt rationellt tal.

Exponentialekvationer av typ \( \; a\,^x \, = \, b \)

Logaritmering och användning av den tredje

logaritmlagen löser denna typ av ekvation:

\(\begin{array}{rcll} 5^{\,x} & = & 68 & | \; \lg\,(\,\cdot\,) \\ \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) & = & \lg\,68 & : \; \text{3:e log.-lag} \\ {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 & = & \lg\,68 & \\ x & = & \displaystyle \frac{\lg\,68}{\lg\,5} & \\ x & = & 2,62173\ldots & \\ \end{array}\)

Kontroll:\( \qquad 5^{\,2,62173\ldots} \, = \, 68 \)

I rad 1 logaritmeras ekvationens båda led.

I rad 2➛3 ger den tredje logaritmlagen:

\( \qquad\qquad \lg\,(5^{\,{\color{Red} x}}) = {\color{Red} x} \cdot \lg\,5 \)

Generellt:

Exponentialekvationen \( \;\;\; a\,^x \, = \, b \)

har lösningen: \( \qquad\qquad\;\; x \, = \, \displaystyle \frac{\lg\,b}{\lg\,a} \)

Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.