4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer - Versionshistorik

Taifun den 27 april 2024 kl. 16.26

2024-04-27T16:26:45Z

Taifun den 27 april 2024 kl. 16.22

2024-04-27T16:22:35Z

Taifun den 15 januari 2018 kl. 23.34

2018-01-15T23:34:20Z

Taifun den 14 januari 2018 kl. 14.07

2018-01-14T14:07:54Z

Visa ändringar

Taifun: Taifun flyttade sidan 4.2 Potensekvationer med rationella exponenter till 4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer utan att lämna en omdirigering

2018-01-14T14:01:33Z

Taifun flyttade sidan 4.2 Potensekvationer med rationella exponenter till 4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer utan att lämna en omdirigering

Taifun: Taifun flyttade sidan 3.2 Potensekvationer med rationella exponenter till 4.2 Potensekvationer med rationella exponenter utan att lämna en omdirigering

2017-06-24T13:14:18Z

Taifun flyttade sidan 3.2 Potensekvationer med rationella exponenter till 4.2 Potensekvationer med rationella exponenter utan att lämna en omdirigering

Taifun den 3 april 2017 kl. 14.55

2017-04-03T14:55:28Z

Taifun den 3 april 2017 kl. 14.38

2017-04-03T14:38:03Z

Taifun den 3 april 2017 kl. 14.37

2017-04-03T14:37:05Z

Taifun: Skapade sidan med ' == Potenser med rationella exponenter ==
Potenser med exponenter som är 1.1_Om_tal#Olika_typer...'

2017-04-03T14:36:07Z

Skapade sidan med ' == <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> == <div class="tolv">  Potenser med exponenter som är 1.1_Om_tal#Olika_typer...'

Ny sida

== <b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b> ==
<div class="tolv"> 
Potenser med exponenter som är [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:red">rationella tal</span></b>]] (bråktal) är ett annat sätt att skriva rötter.

Därför kan de användas för att beräkna både kvadratrötter och högre rötter.

Följande samband råder mellan potenser med rationella exponenter och rötter:

'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om kvadratroten</span></b> <math> \quad a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math> =====
</div> 

'''Bevis''':

Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 2} </math></big> två gånger med sig själv och använder första potenslagen:

:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \cdot a^{1 \over 2} \; = \; a^{{1 \over 2} + {1 \over 2}} \; = \; a^{2 \over 2} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>

Å andra sidan är definitionen för kvadratroten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>

<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt{a} \; = \; </math></big> Tal som 2 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.

Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>

:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 2} \; = \; \sqrt{a} </math></big>

I följande ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad m, n \, </math> heltal och <math> \, n \, \neq 0 \quad </math>.

'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om högre rötter</span></b> <math> \quad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} </math> =====
</div> 

'''Bevisidé''':

Vi visar påståendet för specialfallet <math> \, n=3 </math>:

Vi multiplicerar <math> a </math><big><math>^{1 \over 3} </math></big> tre gånger med sig själv och använder första potenslagen:

:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a </math></big>

Å andra sidan är definitionen för 3:e roten ur <math> \, a </math><span style="color:black">:</span>

<big><math> \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; </math></big> Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger <math> \, a </math>.

Av raderna ovan följer<span style="color:black">:</span>

:::<big><math> \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} </math></big>

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet:

<div class="border-divblue">
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om rationell exponent</span></b> <math> \quad \displaystyle a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} </math> =====
</div> 

Tabellen över [[Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.

</div>

← Äldre version		Versionen från 27 april 2024 kl. 16.26
Rad 111:		Rad 111:


−	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © ~~2010-2017 Math Online Sweden~~ AB. All Rights Reserved.	+	[[Matte:Copyrights\|Copyright]] © 2023 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

@@ Rad 4: / Rad 4: @@
 {{Not selected tab|[[4.1_Repetition:_Potenser| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 {{Selected tab|[[4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer|Genomgång]]}}
-{{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz]]}}
+{{Not selected tab|[http://beta.mattekollen.se/#/app/section Quiz Mattekollen]}}
-{{Not selected tab|[[Övningar till Potenser|Övningar]]}}
+{{Not selected tab|[[4.1 Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[4.1 Potenser| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[4.1_Repetition:_Potenser| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 {{Selected tab|[[4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[Quiz till Potenser|Quiz]]}}
@@ Rad 12: / Rad 12: @@
 <big>
 == <small><b><span style="color:#931136">Potenser med rationella exponenter</span></b></small> ==
-Här ska vi lägga till [[4.1 Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.
+Här ska vi lägga till [[4.1_Repetition:_Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] ytterligare tre lagar om potenser med rationella exponenter.
 Potenser med rationella exponenter är potenser som har [http://34.248.89.132:1800/index.php?title=1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal <b><span style="color:red">rationella tal</span></b>] (bråktal) i exponenten.
@@ Rad 67: / Rad 67: @@
 </div> <!-- border-divblue -->
-Tabellen över [[4.1 Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.
+Tabellen över [[4.1_Repetition:_Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]] borde kompletteras med dessa lagar för rationella exponenter.

← Äldre version		Versionen från 3 april 2017 kl. 14.55
Rad 72:		Rad 72:

	</div> <!-- tolv6 -->		</div> <!-- tolv6 -->
		+
		+
		+	== <b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b> ==
		+	<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
		+
		+	Anta i fortsättningen att <math> \, x \, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> .
		+
		+	::Funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> kallas för <b><span style="color:red">potensfunktioner</span></b>, generellt <math> \; y = c \cdot x^b\, </math>.
		+
		+	::Ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> kallas för <b><span style="color:red">potensekvationer</span></b>, generellt <math> \; x^b\, = c </math>.
		+
		+	I potensfunktioner och -ekvationer förekommer <math> \, x \, </math> i <b><span style="color:red">basen</span></b>.
		+
		+	<div class="border-divblue">Potensekvationer löses genom <b><span style="color:red">rotdragning</span></b>.</div>
		+
		+	Rotdragning är ekvivalent (identiskt) med potentiering med rationella exponenter.
		+
		+	För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
		+
		+	:::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & \| \; \sqrt[3]{\;\;} \\
		+	\sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\
		+	x & = 2 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	Alternativt med potens med rationell exponent:
		+
		+	:::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & \| \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\
		+	(x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \qquad & \| \; \text{3:e potenslagen på VL} \\
		+	x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\
		+	x & = 2 \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	De alternativa lösningarna av ekvationen ovan är ett exempel på att rötter alltid kan skrivas som [[Potenser#Potenser_med_rationella_exponenter\|<b><span style="color:blue">potenser med rationella exponenter</span></b>]].
		+	</div> <!-- tolv7 -->

← Äldre version		Versionen från 3 april 2017 kl. 14.38
Rad 8:		Rad 8:
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	\|}		\|}
−
−
−	~~== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==~~
−	~~<div class="exempel">~~
−	~~[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]~~
−	~~<big>~~
−	~~:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>~~
−
−	~~:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>~~
−	~~</big></div> <!-- exempel -->~~

← Äldre version	Versionen från 14 januari 2018 kl. 14.01
(Ingen skillnad)

← Äldre version	Versionen från 24 juni 2017 kl. 13.14
(Ingen skillnad)

← Äldre version	Versionen från 3 april 2017 kl. 14.37
Rad 1:	Rad 1:
	+	__NOTOC__
	+	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
	+	{{Not selected tab\|[[1.1 Polynom\| <<  Tillbaka till Polynom]]}}
	+	{{Selected tab\|[[Potenser\|Genomgång]]}}
	+	{{Not selected tab\|[[Quiz till Potenser\|Quiz (Matte1b)]]}}
	+	{{Not selected tab\|[[Övningar till Potenser\|Övningar]]}}
	+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
	+	\|}
	+
	+
	+	== <b><span style="color:#931136">Hur räknar du?</span></b> ==
	+	<div class="exempel">
	+	[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
	+	<big>
	+	:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
	+
	+	:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
	+	</big></div> <!-- exempel -->