Taifun den 26 april 2024 kl. 13.44

2024-04-26T13:44:14Z

Taifun den 26 april 2024 kl. 13.28

2024-04-26T13:28:31Z

Taifun: Taifun flyttade sidan 4.1 Poenser till 4.1 Potenser utan att lämna en omdirigering

2024-04-26T13:06:16Z

Taifun flyttade sidan 4.1 Poenser till 4.1 Potenser utan att lämna en omdirigering

Taifun: Skapade sidan med 'NOTOC {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Selected tab|4.1 Potenser|G...'

2024-04-26T13:05:18Z

Skapade sidan med '__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Selected tab|4.1 Potenser|G...'

Ny sida

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Selected tab|[[4.1 Potenser|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[4.1 Quiz till Potenser|Quiz]]}} 
{{Not selected tab|[[4.1 Övningar till Potenser|Övningar]]}} 
{{Not selected tab|[[4.1 Lathund till Potenser|Lathund]]}} 
{{Not selected tab|[[4.2 Potenser med rationella exponenter & Potensekvationer|Nästa avsnitt  >> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

== <b><span style="color:#931136">Repetition om potenser</span></b> ==
<table>
<tr>
<td>[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
<td>           <div class="border-divblue">
<big>Exempel på potens:

::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8</math>

<b><span style="color:#931136">Potens</span></b> = upprepad <b><span style="color:red">multiplikation</span></b>

av <math> \, 2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.
</big></div></td>
</tr>
</table>

<big>
<b><span style="color:red">OBS!</span></b>   Förväxla inte begreppen<span style="color:black">:</span> <math> \, 2\,^3 \, </math> är själva potensen, medan <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är <b><span style="color:red">exponenten</span></b> och <math> \, {\color{green} 2}\, </math> förstås <b><span style="color:green">basen</span></b>.

Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att<span style="color:black">:</span>

<math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. [http://mathonline.se:1800/index.php?title=1.2_R%C3%A4kneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F <b><span style="color:blue">upprepad addition</span></b>]).
</big>

<div class="exempel"> 
=== <b><span style="color:#931136">Exempel</span></b> ===
<big>
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>

<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>

:::::::::::::::::OBS!   Förenkla alltid först, räkna sedan!

Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>

För att förstå den snabbare lösningen se [[4.1_Potenser#Potenslagarna|<b><span style="color:blue">Potenslagarna</span></b>]].
</big>
</div> 

<big>Generellt:</big>

== <b><span style="color:#931136">Potenser med positiva exponenter</span></b> ==

<div class="ovnE">
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> med <b><span style="color:red">positiv</span></b> exponent (<math> x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 </math>) kan definieras som<span style="color:black">:</span>

:::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>

:::::<big><math> \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
</div>

== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==

<div class="border-divblue">
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
----
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
</div>

<big>
Dessa lagar gäller för potenser där baserna <math> \, a,\,b \, </math> är tal <math> \, \neq 0 \, </math> och exponenterna <math> \, x,\,y \, </math> är godtyckliga tal.
</big>

<div class="exempel"> 
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på första potenslagen</span></b> ===
<big>
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>

<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b>

::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>

Snabbare:

::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} </math></big>
</big>
</div> 

<big>
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
</big>

<div class="exempel"> 
=== <b><span style="color:#931136">Exempel på andra potenslagen</span></b> ===
<big>

::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>

Snabbare:

::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
</big>
</div> 

<big>
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten <math> \, 0 \, </math>:

Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller <math> \, 0 \, </math>. Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.
</big>

== <b><span style="color:#931136">Potenser med negativa exponenter</span></b> ==
<div class="exempel">
[[Image: Hur raknar du negativa exponenter 20.jpg]]
</div>

<table>
<tr>
<td><div class="ovnC">
<big>Potens med negativ exponent<span style="color:black">:</span>

<math> \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad </math>

<b><span style="color:red">Invertera</span></b> potensen med positiv exponent.

----

Att <b><span style="color:red">"invertera"</span></b> t.ex. <math> \, 10 \, </math> ger <math> \, \displaystyle {1 \over 10} \; </math>.
</big></div>

</td>
<td>      <div class="ovnE">
<big>Andra exempel<span style="color:black">:</span></big>
::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>

::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>

::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
</div>
</td>
</tr>
</table>

<big>Generellt:</big>

<div class="ovnC">
'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent</span></b> <math> \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} </math> =====
</div> 

'''Bevis''':

::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>

In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges<span style="color:black">:</span> <math> \; 1 = a^0 \; </math>.

In den andra likheten har vi använt andra potenslagen<span style="color:black">:</span> <math> \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; </math>.

Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
</div>

== <b><span style="color:#931136">Potenser med exponenten <math> \, 0 \, </math></span></b> ==

<big>Exempel:</big>

<div class="ovnE">
<big><math> \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad </math>
</big></div>

<big>Generellt:</big>

<div class="ovnC">
'''Påstående''':

<div class="border-divblue">
===== <b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens</span></b> <math> \quad a^0 \; = \; 1 \; </math> =====
</div> 

'''Bevis''':

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:

::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>

Av raderna ovan följer påståendet:

::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
</div>

<big>I båda föregående påståenden ska alltid gälla<span style="color:black">:</span> <math> \quad x \, </math> heltal <math> > 0 \, </math> och <math> \, a \, \neq 0 \quad </math>.

Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:

Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.

<b><span style="color:red">Nollte potensen</span></b> bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som <math> \, 0 \, </math> är övergången mellan positiva och negativa tal:
</big>

== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==

<div class="ovnE">
::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>

::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>

::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>

::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>

::<math> \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} </math>

::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>

::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>

::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>

::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>

Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att <b><span style="color:red">multiplikationens enhet</span></b> är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>.

Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
</div>

== <b><span style="color:#931136">Blandade exempel</span></b> ==
[[Image: Potens_Ex_1.jpg]]

----

[[Image: Potens_Ex_2.jpg]]

----

[[Image: Potens_Ex_3.jpg]]

== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==

http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html

http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2023 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

← Äldre version		Versionen från 26 april 2024 kl. 13.28
Rad 277:		Rad 277:

	http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks		http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
−
−	~~http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html~~
−
−	~~http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html~~

	http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar		http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar

@@ Rad 11: / Rad 11: @@
-== <b><span style="color:#931136">Repetition om potenser</span></b> ==
+= <b><span style="color:#931136">Repetition om potenser</span></b> =
 <table>
 <tr>

← Äldre version	Versionen från 26 april 2024 kl. 13.06
(Ingen skillnad)

4.1 Potenser - Versionshistorik

Taifun den 26 april 2024 kl. 13.44

Taifun den 26 april 2024 kl. 13.28

Taifun: Taifun flyttade sidan 4.1 Poenser till 4.1 Potenser utan att lämna en omdirigering

Taifun: Skapade sidan med '__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Selected tab|4.1 Potenser|G...'

Taifun: Skapade sidan med 'NOTOC {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Selected tab|4.1 Potenser|G...'